Christian Huygens et le pendule cycloïdal




Images De zeventiende eeuw.Jaargang 12 (1996), Audouin Dollfus www.dbnl.org Image NASA/JPL/University of Arizona /University of Idaho, www.sciencesetavenir.fr

Lunette d’Huygens de 10,96 mètres de distance focale, sans tuyau, à fil tendu. Objectif de 115 mm de diamètre poli par ses soins et oculaire d’Huygens à trois verres, redressant l’image. Le dessin montre le tube de visée avec bafles qui limite la lumière parasite du ciel. Latéralement, un chercheur à pinnules permet de pointer l’astre. Le grand objectif est positionné et orienté à distance par crémaillères. Le fil tendu assure la distance focale et le chercheur permet la visée sur l’axe.

Christian Huygens découvrit Titan le premier satellite de Saturne puis, en 1659, les anneaux de Saturne : «Saturne est entouré d’un anneau mince, plan, nulle part adhérant, et incliné sur l’écliptique ». Ici, en 1684, sur le cahier d’observation de cette lunette, Christian Huygens a dessiné les anneaux de Saturne et au-dessus les positions de Titan (1) ainsi que Rhéa (2) et Japet (3) tous deux découverts par Jean Dominique Cassini entre temps.

La carte composite de Titan résulte de la mission Cassini-Huygens. En 2005 la sonde Cassini a largué le module Huygens qui s’est posé sur le sol de Titan et a envoyé vers la Terre des données qui ont permis de caractériser sa surface. Le 9 septembre 2017, la sonde Cassini a effectué ses dernières orbites autour de Saturne survolant la géante gazeuse à seulement 1680 mètres d’altitude, pour se diriger vers Titan, dernier survol intitulé the kiss goodbye par la NASA, avant d’aller s’enfoncer tout droit sur Saturne jusqu’à ce que destruction s’en suive.

A lire :

  •  Le pendule de Huygens par Christiane Vilain,
  •  La courbe du siècle par Jean Dhombres.
  •  Quelle courbe pour la plus «vite descente» par Jeanne Peiffer.
  •  in «De Fermat à Lagrange : La nature et le principe de moindre action de Maupertuis», 2002, Les Cahiers de Science et Vie, n°68 avril 2002.
  •  Fred Hoyle, 1962, L’Astronomie, version française sous la direction de Colin Ronan aux éditions du Pont Royal : Huygens pages 131-136.
  • Extraits choisis et frontispice de Newton :
    Sir Isaac Newton, The mathematical principles of natural philosophy, Translated into English by Andrew Motte, 1803, printed by Knight & Compton, London, Book III, proposition IV, theorem IV, page 169-170. 

La cycloïde une courbe tautochrone et brachistochrone.

La ligne droite est le chemin le plus court pour aller de A à B, mais avec la pesanteur la cycloïde est le temps le plus bref pour aller de A à B, un chemin légèrement plus long certes, mais une accélération franche au départ.


Photo Th. Martinez Agence Vandystadt. Dessin M. Gorelkine, in
Jeanne Peiffer, 2002, Quelle courbe pour la plus «vite» descente in La nature et le principe de moindre action de Maupertuis, Les Cahiers de Science et Vie, n°68 avril 2002. 



Un cercle rouge roulant sur une droite génère à chaque tour une arche de cycloïde, bleu. La courbe du siècle. La roulette pour Pascal.

Mersenne, Roberval, Descartes et Fermat surenchérirent : «la superficie de l’arche est 3 fois celle du cercle…» encore mieux, pour Christopher Wren «la longueur de l’arche est huit fois le rayon du cercle, et celle de la corde génératrice 2x(pi) fois le rayon».

La cycloïde est la première courbe dont on put, avec élégance, mesurer la longueur. En bas Jean Bernoulli Ier, son fils Jacques, le marquis de l’Hôpital et Leibniz calculeront l’intégrale du temps minimum et l’équation différentielle de la brachistochrone.

La palme du pendule cycloïdal, revient aux deux physiciens : Huygens, pour son invention, et Newton, pour son utilisation.

Une belle animation de Geneviève Tulloue de l’Université de Nantes.

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«… de quelque point elle soit lâchée, la boule arrive toujours en même temps au point le plus bas»



Christian Huygens.

Huygens démontre que toutes les perpendiculaires ( lignes vertes ) à une cycloïde ( ligne rouge )- enveloppent et sont tangentes à une cycloïde identique ( ligne bleu )- déphasée de π. La longueur du balancier est le double du diamètre du cercle ; il est la moitié de la longueur d’une arche. Dans la bibliothèque royale, où il est somptueusement logé, Huygens présente son pendule cycloïdal à Louis XIV. Le pendule de l’horloge est un fil souple qui vient s’appuyer alternativement sur l’une et l’autre lamelle en cuivre à courbure cycloïdale. La longueur du pendule, sa partie libre, se réduit progressivement avec l’amplitude du balancement. Huygens peut énoncer son nouveau théorème : «le temps d’une oscillation entière d’un poids décrivant une cycloïde est au temps qu’il employerait à tomber de la hauteur de l’axe de cette cycloïde, dans le rapport π». Il suffit à Huygens de vérifier la fréquence de son pendule cycloïdal sur l’horloge de l’Observatoire de Paris qui bat exactement la seconde sidérale, et de transmettre à Newton sa conclusion : «au bout de 1 seconde la boule du pendule aura chuté de 15 pieds, 1 pouce, 1 ligne 3/4». Jean Dhombres, 2002, La courbe du siècle in La nature et le principe de moindre action de Maupertuis, Les Cahiers de Science et Vie, n°68 avril 2002.



La mesure d’Hipparque était juste, le raisonnement de Newton exact, la mesure de Huygens précise. D’où venait l’erreur?

En janvier 1682 lors de la séance de la société Royale de Londres, Newton apprend que l’abbé Picard - the french dans cette traduction anglaise d’Andrew Motte, l’original de Newton est en latin – … que l’astronome Jean Picard a mesuré le méridien terrestre : précisément 123 millions 249 mille 600 pieds du Châtelet.
«la joie mit Newton dans une telle sur-excitation que, de plusieurs jours, il ne put finir ses calculs» 


Sir Isaac Newton, frontispice in The mathematical principles of natural philosophy, by Andrew Motte, 1803, printed by Knight & Compton, London/

  • Chute de la pomme 15 feet, 1 inch, 1 line7/9 
  • Chute fictive de la Lune 15 feet, 1 inch, 1 line4/9

L’accord est même trop beau. Mais pour établir la loi de la gravitation universelle il restait à démontrer que la force agit en 1/r2.


Fred Hoyle, 1962, L’Astronomie, version française sous la direction de Colin Ronan aux éditions du Pont Royal : Huygens pages 131-136 et portrait . 



  • Ligne du haut. Képler avait mesuré les périodes et les distances des planètes : c’est sa 3e loi, carré des périodes / cube des rayons, T2/r3, couleur rouge. 
  • Ligne du milieu. L’aristocrate Christian Huygens s’amuse avec des frondes de masses simple, double et quadruple, qu’il fait tourner à des vitesses simple, double ou quadruple et à des distances simple, double et quadruple. Il joue aussi, à la Tournesol, avec un pendule conique dont le mouvement est circulaire. Conclusion: la force centrifuge est en V2/r, couleur rouge.
  • Ligne du bas ; Sir Edmund Halley qui avait montré que la grande comète de l’Antiquité revenait périodiquement, tire alors les marrons du feu. Il combine le T2/r3 de Képler et le V2/r de Huygens pour conclure que la force de gravitation est bien en 1/r2, couleur rouge. Avec joie, il l’annonce à son grand ami Newton.

Newton avait montré que c’est l’attraction de la Terre qui maintient la Lune sur son orbite circulaire; dans la foulée il explique que les trajectoires elliptiques des planètes et les trajectoires paraboliques des planètes: toutes les lois de Képler, sont la conséquence de l’attraction du Soleil.

Au XIXe siècle, William Herschel mesure les premières orbites d’étoiles doubles. Il pousse un cri de joie: les étoiles aussi obéissent à la loi de la gravitation de Newton.